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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

4.16. Encontrar todas las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua) de la siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) :
d) f(h)=hehf(h)=\frac{h}{e^{h}}

Respuesta

Estudiamos las asíntotas de la función: f(h)=hehf(h)=\frac{h}{e^{h}} 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de ff Acordate que la exponencial nunca vale cero, por lo tanto el dominio de ff es R\mathbb{R} 2)\textbf{2)} Asíntotas verticales Ufff, zafamos al fin! =) Como el dominio de ff son todos los R\mathbb{R}, ff no tiene asíntotas verticales 3)\textbf{3)} Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±\pm \infty Arrancamos primero estudiando cómo se comporta la función en ++\infty 

limh+heh \lim_{h \to +\infty} \frac{h}{e^{h}} Tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital: 

limh+1eh=0 \lim_{h \to +\infty} \frac{1}{e^{h}} = 0
 
Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=0y=0
Ahora estudiamos el comportamiento en -\infty limhheh \lim_{h \to -\infty} \frac{h}{e^{h}} Ojo acá, ehe^h en este caso tiende a 00. Si reescribís el límite así vas a ver más claro a dónde se va... limh1ehh= \lim_{h \to -\infty} \frac{1}{e^{h}} h = -\infty  

Entonces, acomodemos los tantos. En ++\infty la función se está pegando a la asíntota horizontal y=0y=0, en cambio en -\infty se va para -\infty. Quedaría descartar la posibilidad de que -\infty se esté pegando a una asíntota oblicua. Lo estudiamos:

4)\textbf{4)} Asíntota oblicua: La estudiamos únicamente en -\infty (en ++\infty no tiene sentido, ahí ya tiene una asíntota horizontal) m=limhf(h)h=limhhheh=limh1eh=+m = \lim_{h \to -\infty} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to -\infty} \frac{h}{h e^h} = \lim_{h \to -\infty} \frac{1}{e^h} = +\infty Como el límite no nos dio un número, entonces no existe la pendiente mm y, por lo tanto, ff no tiene asíntota oblicua en -\infty
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